Question

18．已知曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=-3-\frac{3}{4}t}\end{array}\right.$（t为参数）与曲线C₂：ρ²-4ρ•cosθ-21=0交于A，B两点，求线段AB的长，并说明C₁，C₂分别是什么曲线？

Answer 1

分析 曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=-3-\frac{3}{4}t}\end{array}\right.$（t为参数），把t=x-1代入y=-3-$\frac{3}{4}$t，可得普通方程．曲线C₂：ρ²-4ρ•cosθ-21=0，利用互化公式可得：直角坐标方程．求出圆心曲线C₂到直线的距离d，可得|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$．

解答 解：曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=-3-\frac{3}{4}t}\end{array}\right.$（t为参数），把t=x-1代入y=-3-$\frac{3}{4}$t，可得y=-3-$\frac{3}{4}$（x-1），化为：3x+4y+9=0，因此曲线C₁表示直线．
曲线C₂：ρ²-4ρ•cosθ-21=0，利用互化公式可得：x²+y²-4x-21=0，配方为（x-2）²+y²=25，曲线C₂表示圆心为C₂（2，0），半径为r=5．
圆心曲线C₂到直线的距离d=$\frac{|2×3+0+9|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=3，
∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2×$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=8．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、直线与圆相交弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．