题目内容

（1）△ABC中，证明：sin²A=sin²B+sin²C-2sinBsinCcosA
（2）计算：sin²17°+cos²47°+sin17°cos47°．

解：（1）△ABC中，根据余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA…（*）
又∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2R（R是外接圆半径）
∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
代入（*）式，得4R²sin²A=4R²sin²B+4R²sin²C-2•2RsinB•2RsinCcosA
两边约去4R²，得sin²A=sin²B+sin²C-2sinBsinCcosA，原等式成立．
（2）∵cos47°=cos（90°-43°）=sin43°
∴sin²17°+cos²47°+sin17°cos47°=sin²17°+sin²43°+sin17°sin43°
设△ABC中，B=17°，C=43°，则A=180°-（17°+43°）=120°
由（1）得：sin²A=sin²B+sin²C-2sinBsinCcosA，
即sin²120°=sin²17°+sin²43°-2sin17°sin43°cos120°=sin²17°+sin²43°+sin17°sin43°
∴sin²17°+sin²43°+sin17°sin43°=sin²120°=（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$
即sin²17°+cos²47°+sin17°cos47°= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据余弦定理得到a²关于b、c和cosA的式子，结合正弦定理得a=2RsinA、b=2RsinB、c=2RsinC，将其代入前面的式子，约去4R²即可得到所求证的等式成立．
（2）由诱导公式得cos47°=sin43°，从而原式=sin²17°+sin²43°+sin17°sin43°．构造△ABC中：B=17°，C=43°，A=120°，利用（1）中的结论可得原式=sin²120°= $\text{[math]}$ ．
点评：本题利用正、余弦定理，证明了一个三角恒等式，并利用该式求值，着重考查了三角恒等变换和正余弦定理等知识，属于基础题．

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（1）如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知

在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，s=

（a+b+c）
（1）证明

≥

；
（2）若s²=2ab，试证s＜2a．

（08年安徽信息交流）在周长为6的△ABC中，∠A、∠B 、∠C所对的边分别为，若成等比数列；

（1）求B的取值范围；

（2）求△ABC的面积S的最大值；

（3）当△ABC的面积S最大时，过△ABC的重心G作直线交边AB于M，交边AC与N，设∠AGM=，试证：。

如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、

PC的中点．

（1）求证：EF∥平面PAD；

（2）求证：EF⊥CD；

（3）若ÐPDA＝45°求EF与平面ABCD所成的角的大小．

【解析】本试题主要考查了线面平行和线线垂直的运用，以及线面角的求解的综合运用

第一问中，利用连AC，设AC中点为O，连OF、OE在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点 ∴ FO∥PA …………①在△ABC中，∵ E、O分别为AB、AC的中点 ∴ EO∥BC ,又 ∵ BC∥AD ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO ∴ EF∥平面PAD．

第二问中在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD ∴ EO⊥CD 又 ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC ∴ FO⊥平面AC∴ EO为EF在平面AC内的射影 ∴ CD⊥EF．

第三问中，若ÐPDA＝45°，则 PA＝AD＝BC ∵ EOBC，FOPA