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精英家教网各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足2（Sn+1）=an2+an（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足b1=2，bn+1=2bn（n∈N*），数列{cn}满足cn=
an，n=2k-1
bn，n=2k
(k∈N*)，数列{cn}的前n项和为Tn，当n为偶数时，求Tn；
（3）若数列Pn=
4
3
•(2n-1)(n∈N*)，甲同学利用第（2）问中的Tn，试图确定Tn-Pn的值是否可以等于20？为此，他设计了一个程序（如图），但乙同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束），你是否同意乙同学的观点？请说明理由．
分析：（1）由题设知a1=2，2an=an2-an-12+an-an-1，由an＞0，知an-an-1=1由此能求出an．
（2）由题设知bn=2n（n∈N*）．n为偶数时，Tn=（a1+a3+…+an-1）+（b2+b4+…+bn）=
(a1+an-1)•
n
2
2
+
4(1-4
n
2
)
1-4
=
n2+2n
4
+
4
3
(2n-1)．
（3）由程序可知，n为偶数，Tn=
n2+2n
4
+
4
3
(2n-1)，Pn=
4
3
(2n-1)，设dn=A-B=Tn-Pn=
n2+2n
4
，n=8时，Tn-Pn=20成立，程序停止．乙同学的观点错误．
解答：解：（1）n=1，2（S1+1）=a12+a1?a1=2．（2分）
n≥2，2(Sn+1)=an2+an
2(Sn-1+1)=an-12+an-1
，
两式相减，得2an=an2-an-12+an-an-1
∵an＞0，∴an-an-1=1．（4分）
?{an}为等差数列，首项为2，公差为1
∴an=n+1（n∈N*）．（5分）
（2）∵{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴bn=2n（n∈N*）．（7分）
n为偶数时，Tn=（a1+a3+…+an-1）+（b2+b4+…+bn）．（8分）
=
(a1+an-1)•
n
2
2
+
4(1-4
n
2
)
1-4
=
n2+2n
4
+
4
3
(2n-1)．（10分）
（3）由程序可知，n为偶数，
∴Tn=
n2+2n
4
+
4
3
(2n-1)，Pn=
4
3
(2n-1)
设dn=A-B=Tn-Pn=
n2+2n
4
．（13分）
∵n=8时，
n2+2n
4
=20，且n为偶数
∴n=8时，Tn-Pn=20成立，程序停止．（14分）
∴乙同学的观点错误．（16分）
点评：本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的计算方法，以程序图为载体考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
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设单调递增函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y有f（xy）=f（x）+f（y），且f(
1
2
)=-1．
（1）一个各项均为正数的数列{an}满足：f（sn）=f（an）+f（an+1）-1其中Sn为数列{an}的前n项和，求数列{an}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，是否存在正数M使下列不等式：2n•a1a2…an≥M
2n+1
(2a1-1)(2a2-1)…(2an-1)对一切n∈N*成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由．
各项均为正数的数列{an}中，a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，对任意n∈N﹡，有2Sn=2p
a
2
n
+pan-p（p∈R）．
（1）求常数p的值；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn，an，
1
2
成等差数列，
（1）求a1，a2的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）若bn=4-2n（n∈N*），设cn=
bn
an
，求数列{cn}的前n项和Tn．
各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且点（an，Sn）在函数y=
1
2
x2+
1
2
x-3的图象上，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn=nan(n∈N*)，求证：
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
＜
3
4
．
（2008•长宁区二模）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和sn满足s1＞1，且6sn=（an+1）（an+2）（n为正整数）．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足bn=
an，n为偶数
2an，n为奇数
，求Tn=b1+b2+…+bn；
（3）设Cn=
bn+1
bn
，(n为正整数)，问是否存在正整数N，使得n＞N时恒有Cn＞2008成立？若存在，请求出所有N的范围；若不存在，请说明理由．

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