Question

以O为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系．设，点F的坐标为（t，0），t∈[3，+∞）．点G的坐标为（x，y）．
（1）求x关于t的函数x=f（t）的表达式，并判断函数f（x）的单调性．
（2）设△OFG的面积，若O以为中心，F，为焦点的椭圆经过点G，求当取最小值时椭圆的方程．
（3）在（2）的条件下，若点P的坐标为，C，D是椭圆上的两点，，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由F的坐标（t，0），．点G的坐标（x，y）可求出，坐标，再代入，即可求x关于t的函数x=f（t）的表达式，再利用对勾函数的单调性判断函数f（x）的单调性．
（2）先用含点G的坐标式子表示△OFG的面积，再根据△OFG的面积，求出y0，再判断何时取最小值，
可得此时的椭圆方程．
（3）设C，D的坐标分别为（x，y）、（m，n），求，坐标，再根据用含λ的式子表示n，根据n的范围求λ的范围即可．
解答：解：（1）由题意得：=（t，0），=（x，y），═（x-t，y），
则：，解得：
所以f（t）在t∈[3，+∞）上单调递增．
（2）由S=||•|y|=|y|•t=得y=±，
点G的坐标为（t+，），=
当t=3时，||取得最小值，此时点F，G的坐标为（3，0）、（，±）
由题意设椭圆的方程为，又点G在椭圆上，
解得b²=9或b²=-（舍）故所求的椭圆方程为
（3）设C，D的坐标分别为（x，y）、（m，n）
则=（x，y-），=（m，n-）由得（x，y-）=λ=（m，n-），
∴x=λm，y=λn-λ+
又点C，D在椭圆上消去m得n=   
|n|≤3，∴||≤3解得
又∵λ≠1
∴实数λ的范围是[，1）∪（1，5]
点评：本题考查了圆锥曲线与函数之间的关系，做题时要认真分析，找到之间的联系．