题目内容
以O为原点，
所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系.设
·
=1，点F的坐标为(t，0)，t∈［3，+∞)，点G的坐标为(x0，y0).(1)求x0关于t的函数x0=f(x)的表达式，判断函数f(t)的单调性，并证明你的判断；
(2)设△OFG的面积S=
t，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点G，求当|
|取得最小值时椭圆的方程；
(3)在(2)的条件下，若点P的坐标为(0，92)，C、D是椭圆上的两点，且
=λ
(λ≠1)，求实数λ的取值范围.
解：(1)由题意，=(x0-t，y0)，=(t，0)，
则·=t(x0-t)=1，∴x0=f(t)=t+.
设3≤t1＜t2，则f(t2)-f(t1)=(t2+
)-(t1+
)=
.
∵t2-t1＞0，t1t2-1＞0，t1t2＞0，∴f(t2)-f(t1)＞0，f(t2)＞f(t1)，
∴f(t)在［3，+∞)上单调递增.
(2)由S=
|
||y0|=
t·|y0|=
t，得y0=±
，
∴点G的坐标为(t+
，±
)，|
|2=(t+
)2+
.
∵f(t)在［3，+∞］上单调递增，
∴当t=3时，|
|取得最小值，此时F、G的坐标分别是(3，0)、(
，±
).
由题意设椭圆方程为
=1，由点G在椭圆上得
=1，解得b2=9，
∴所求椭圆方程为
=1.
(3)方法1：设C、D的坐标分别为(x，y)、(m，n)，则
=(x，y-
)，
=(m，n-
).
由
=λ
，得(x，y-
)=λ(m，n-
)，x=λm，y=λn-
λ+
.
∵C、D在椭圆上，∴
=1，
=1，消去m得 n=
.
又∵|n|≤3，∴|
|≤3，解得
≤λ≤5，∴实数λ的取值范围是［
，1)∪(1，5］.
方法2：记点A、B的坐标分别为(0，3)、(0，-3)，过点A、B分别作y轴的垂线，交直线PC于点M、N.
若|
|＜|
|，则|
|≤|
|，|
|≥|
|，
∴1＜
≤
=
=5，则1＜
≤5，
≤λ＜1；
若|
|＞|
|，同理可得1＜
≤
=
=5，则1＜λ≤5.
综上，实数λ的取值范围是［
，1)∪(1，5］.
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