Question

已知方向向量为v=（1，）的直线l过点（0，-2）和椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点E（-2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足•=．cot∠MON≠0（O为原点）．若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）解法一：直线l：y=x-2，过原点垂直l的直线方程为y=-x，这两个方程联立可知x=．再由椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，可知=3．由此可以求出椭圆C的方程．
解法二：直线l：y=x-3．设原点关于直线l对称点为（p，q），则解得p=3．由椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，知=3．由此能够推出椭圆C的方程．
（II）解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．当直线m不垂直x轴时，直线m：y=k（x+2）代入+=1，整理得（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，再由根与系数的关系和点到直线 的距离求解．
解答：解：（I）解法一：直线l：y=x-2，①
过原点垂直l的直线方程为y=-x，②
解①②得x=．
∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，∴=2×=3．
∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）．∴c=2，a²=6，b²=2．故椭圆C的方程为+=1③
解法二：直线l：y=x-3．
设原点关于直线l对称点为（p，q），则解得p=3．
∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，∴=3．
∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）．∴c=2，a²=6，b²=2．故椭圆C的方程为+=1③

（II）解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
当直线m不垂直x轴时，直线m：y=k（x+2）代入③，
整理得（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，
∴x₁+x₂=-，x₁•x₂=，
|MN|===，
点O到直线MN的距离d=．
∵•=cot∠MON，即||•||cos∠MON=≠0，
∴||•||sin∠MON=4，∴S_△OMN=．∴|MN|•d=，
即4|k|=（3k²+1），
整理得k²=，∴k=±．
当直线m垂直x轴时，也满足S_△OMN=．
故直线m的方程为y=x+，或y=-x-，或x=-2．
经检验上述直线均满足•≠0．
所以所求直线方程为y=x+，或y=-x-，或x=-2．
点评：本题综合考查直线的椭圆的位置关系，具有一定的难度，解题时要注意培养运算能力．