Question

已知方向向量为

v

=（2，2

3

）的直线l过点（0，-2

3

）和椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上．
（1）写出直线l的方程      
（2）求椭圆C的方程．

Answer 1

分析：（1）根据直线的方向向量，算l的斜率k=

3

，结合直线l过点（0，-2

3

），利用直线方程的斜截式列式，可得直线l的方程；
（2）利用轴对称的性质，列式算出右准线方程为x=3．根据直线l过椭圆的焦点算出右焦点为（2，0），由此算出a、b之值，即可得到椭圆C的方程．

解答：解：（1）∵

v

=（2，2

3

）=2（1，

3

），∴l的斜率k=

3

…（2分）
∵直线l过点（0，-2

3

），
∴直线l的方程为：y=

3

x-2

3

，①…（4分）
（2）过原点垂直l的直线方程为y=-

3

3

x，②…（6分）
解①②得x=

3

2

，…．（7分）
∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点O'在椭圆C的右准线上，
∴由OO'的中点横坐标为

3

2

，得

a2

c

=2×

3

2

=3，即右准线方程为x=3．…..（8分）
∵直线l：y=

3

x-2

3

过椭圆焦点，
∴令y=0，得焦点坐标为（2，0）…．（9分）
∴c=2，代入准线方程得a²=2×3=6，从而b²=

a2-c2

=2．
因此，所求椭圆C的方程为

x2

6

+

y2

2

=1．…（12分）

点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程．着重考查了直线的基本量与基本形式、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．