Question

已知方向向量为

v

=(1，

3

)的直线l过点(0，-2

3

)和椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的右焦点，且椭圆的离心率为

6

3

．
（1）求椭圆C的方程：
（2）若已知点M，N是椭圆C上不重合的两点，点D（3，0）满足

DM

=λ

DN

，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先利用条件求出直线l的方程，找出椭圆的右焦点坐标，再利用椭圆的离心率为

6

3

，就可求出椭圆C的方程：
（2）把直线MN的方程与椭圆方程联立找到关于点M，N纵坐标的方程，再利用

DM

=λ

DN

所给出的点M，N纵坐标之间的关系，二者联立借助与判别式大于0就可求实数λ的取值范围．

解答：解：（1）因为直线l的方向向量为

v

=(1，

3

)所以直线斜率为k=

3

，
又因为直线过点(0，-2

3

)
所以直线方程为y+2

3

=

3

x
因为a＞b，所以椭圆的右焦点为直线与轴的交点，∴椭圆的右焦点为（2，0），所以c=2
∵e=

c

a

=

6

3

，∴a=

6

，∴b²=a²-c²=2
∴椭圆方程为

x2

6

+

y2

2

=1
（2）由已知设直线MN的方程为x=my+3，
由

x2 6 + y2 2 =1 x=my+3

?（m²+3）y²+6my+3=0，设M．N坐标分别为（x₁，y₁）（x₂，y₂）
则y₁+y₂=-

6m

m2+3

   ①y₁y₂=

3

m2+3

     ②
△=36m²-12（m²+3）＞0?m²＞

3

2

∵

DM

=（x₁-3，y₁），

DN

=（x₂-3，y₂），

DM

=λ

DN

，显然λ＞0且λ≠1
∴（x₁-3，y₁）=λ（x₂-3，y₂）∴y₁=λy₂，
代入①②得  λ+

1

λ

=

12m2

m2+3

-2=10-

36

m2+3

，
∵m²＞

3

2

?2＜λ+

1

λ

＜10?

λ2-2λ+1＞0 λ2-10λ+1＜0

解得5-2

6

＜λ＜5+2

6

且λ≠1

点评：本题综合考查了直线与椭圆的位置关系以及向量共线问题．还涉及到直线的方程与斜率，考查运算能力与思维能力、综合分析问题的能力．