Question

1．若双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1上一点P到右焦点的距离为2，求点P到双曲线的渐近线的距离．

Answer 1

分析 求出双曲线的a，b，c，离心率e，判断P为右支上一点，由双曲线的第二定义，可得P的坐标，再由点到直线的距离公式计算即可得到所求值．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的a=3，b=4，c=5，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$，
右焦点F（5，0），右准线方程为x=$\frac{9}{5}$，
若P在左支上，即有PF≥a+c=8，
故P在右支上，由双曲线的第二定义可得，
|PF|=ed（d为P到右准线的距离），
即有x_P-$\frac{9}{5}$=$\frac{6}{5}$，即x_P=3，
代入双曲线的方程可得P（3，0），
渐近线方程为y=±$\frac{4}{3}$x，
即有点P到双曲线的渐近线的距离为$\frac{4}{\sqrt{1+\frac{16}{9}}}$=$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查渐近线方程和离心率的运用，考查运算能力，属于中档题．