Question

【题目】已知函数.

（1）若曲线在处切线的斜率为，求此切线方程；

（2）若有两个极值点，求的取值范围，并证明：.

Answer 1

【答案】(1) .

(2)见解析.

【解析】分析：第一问首先利用导数的几何意义以及切点既在切线上，又在函数图像上，从而利用相应的公式求得切线方程；第二问从函数有两个极值点，对应的是其导数等于零有两个不相等的正根，构造新函数，利用导数研究其走向，分类讨论证得结果.

详解：（1）∵，∴，解得，

∴，故切点为，

所以曲线在处的切线方程为．

（2），令，得．

令，则，

且当时，；当时，；时，．

令，得，

且当时，；当时，．

故在递增，在递减，所以．

所以当时，有一个极值点；

时，有两个极值点；

当时，没有极值点．

综上，的取值范围是．

因为是的两个极值点，所以即…①

不妨设，则，，

因为在递减，且，所以，即…②．

由①可得，即，

由①，②得，所以．