Question

【题目】已知数列的前n项和为,（n∈N*）．

（1）证明数列是等比数列，求出数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和；

（3）数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出一组符合条件的项；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，；（2）；（3）不存在满足条件的三项

【解析】

（1）由已知数列递推式可得数列是等比数列，结合等比数列的通项公式求得数列的通项公式；

（2）把数列的通项公式代入，然后利用错位相减法求数列的前项和；

（3）假设存在，且，使得成等差数列，然后推出矛盾可得假设不成立,从而可得不存在满足条件的三项．

（1）证明：∵，∴，

则，∴，

即，

∴数列是公比为2的等比数列，

,，则，

∴；

（2）解：，

，

令，①

，②

①-②得，，

，

∴；

（3）解：设存在，且，使得成等差数列，

则，

即，

即，，

∵为偶数，为奇数，

∴不成立，故不存在满足条件的三项．