题目内容

给定双曲线。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点P的轨迹方程．

 

【答案】

设，代入方程得，．

    两式相减得： 。

    又设中点P（x,y），将，代入，当时得

。又， 代入得。

当弦斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是

【解析】略

 

练习册系列答案
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（2010•福建模拟）已知中心的坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线C过点Q(2，
3
3
)，且点Q在x轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点F1
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）命题：“过椭圆
x2
25
+
y2
16
=1的一个焦点F作与x轴不垂直的任意直线l”交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则
|AB|
|FM|
为定值，且定值是
10
3
”．命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线E，过该圆锥曲线焦点F的弦AB，AB的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点M，AB的长度与F、M两点间距离的比值．试类比上述命题，写出一个关于抛物线C的类似的正确命题，并加以证明
（Ⅲ）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不必证明）．

给定双曲线．过A(2，1)的直线与双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程．

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3
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（Ⅱ）命题：“过椭圆
x2
25
+
y2
16
=1的一个焦点F作与x轴不垂直的任意直线l”交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则
|AB|
|FM|
为定值，且定值是
10
3
”．命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线E，过该圆锥曲线焦点F的弦AB，AB的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点M，AB的长度与F、M两点间距离的比值．试类比上述命题，写出一个关于抛物线C的类似的正确命题，并加以证明
（Ⅲ）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不必证明）．

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