Question

（2012•昌平区二模）设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知(a7-1)3+2012(a7-1)=1，(a2006-1)3+2012(a2006-1)=-1，有下列结论：
①S₂₀₁₂=-2012；   ②S₂₀₁₂=2012；    ③a₂₀₁₂＞a₇；    ④a₂₀₁₂＜a₇．
其中正确的结论序号是（　　）

A．①②

B．①③

C．②③

D．②④

Answer 1

分析：将(a7-1)3+2012（a₇-1）=1，(a2006-1)3+2012（a₂₀₀₆-1）=-1，两式等号两端分别相加，可求得a₂₀₀₆+a₇=2，利用等差数列的性质与求和公式即可判断①②的正误；由a₇-1＞0，a₂₀₀₆-1＜0可知其公差d＜0，从而可判断③④的正误．

解答：解：∵{a_n}为等差数列，(a7-1)3+2012（a₇-1）=1，(a2006-1)3+2012（a₂₀₀₆-1）=-1，
∴(a7-1)3+2012（a₇-1）+(a2006-1)3+2012（a₂₀₀₆-1）=0，
∴(a7-1)3+(a2006-1)3+2012（a₇-1+a₂₀₀₆-1）=0，
∴（a₇-1+a₂₀₀₆-1）{[(a7-1)-

1

2

(a2006-1)]2+

3

4

(a2006-1)2+2012}=0，
∴a₇-1+a₂₀₀₆-1=0，
∴a₂₀₀₆+a₇=2，
∵{a_n}为等差数列，
∴S₂₀₁₂=2012×

a1+a2012

2

=2012×

a7+a2006

2

=2012，
∴②正确；
又(a7-1)3+2012（a₇-1）=（a₇-1）[(a7-1)2+2012]=1＞0，
∴a₇-1＞0，
同理可得(a2006-1)3+2012（a₂₀₀₆-1）=（a₂₀₀₆-1）[(a2006-1)2+2012]=-1＜0
a₂₀₀₆-1＜0，
∴a₇-a₂₀₀₆＞0，
∴其公差d＜0，
∴a₂₀₁₂＜a₇．
故④正确；
故选D．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的性质与求和公式，得到a₂₀₀₆+a₇=2012与其公差d＜0是难点，考查分析与解决问题的能力，属于难题．