Question

试判断函数f（x）=的单调性.

Answer 1

错解：设x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，则

    f（x₁）-f（x₂）=-=.

    ∵x₁＜x₂，

    ∴-x₁＞-x₂.

    ∴a^x₁＜a^x₂，a^-x₁＞a^-x₂.

    ∴a^x₁-a^x₂＜0，a^-x₂-a^-x₁＜0.

    ∴f（x₁）-f（x₂）＜0.

    ∴f（x₁）＜f（x₂），

    即f（x）=是增函数.

错因分析：上述解法错误的原因是忽略了指数函数的单调性，应在a＞1与0＜a＜1中分别讨论.

正解：设x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，则

    f（x₂）-f（x₁）=-=.

    ∵x₁＜x₂，

    ∴-x₁＞-x₂.

    当a＞1时，a^x₁＜a^x₂，a^-x₁＞a^-x₂，

    ∴a^x₂-a^x₁＞0，a^-x₁-a^-x₂＞0，

    ∴f（x₂）-f（x₁）＞0，

    即f（x₂）＞f（x₁），

    此时f（x）是增函数.

    当0＜a＜1时，a^x₁＞a^x₂，a^-x₁＜a^-x₂，

    ∴a^x₂-a^x₁＜0，a^-x₁-a^-x₂＜0，

    ∴f（x₂）-f（x₁）＜0，

    即f（x₂）＜f（x₁）此时f（x）是减函数.

    故当a＞1时，f（x）是增函数，

    当0＜a＜1时，f（x）是减函数.