Question

已知：函数f(x)=ax+

b

x

+c（a、b、c是常数）是奇函数，且满足f(1)=

5

2

，f(2)=

17

4

，
（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）试判断函数f（x）在区间(0，

1

2

)上的单调性并证明．

Answer 1

分析：（1）由函数是奇函数得到c=0，再利用题中的2个等式求出a、b的值．
（2）区间(0，

1

2

)上任取2个自变量x_1、x₂，将对应的函数值作差、变形到因式积的形式，判断符号，
依据单调性的定义做出结论．

解答：解：（1）∵f（-x）=-f（x）∴c=0∵

f(1)= 5 2 f(2)= 17 4

∴

a+b= 5 2 2a+ b 2 = 17 4

∴

a=2 b= 1 2

（2）∵由（1）问可得f(x)=2x+

1

2x

∴f(x)=2x+

1

2x

在区间（0，0.5）上是单调递减的
证明：设任意的两个实数0＜x1＜x2＜

1

2

∵f(x1)-f(x2)=2(x1-x2)+

1

2x1

-

1

2x2

=2(x1-x2)+

(x2-x1)

2x1x2

=

(x2-x1)(1-4x1x2)

2x1x2

又∵0＜x1＜x2＜

1

2

∴x₁-x₂＜00＜x1x2＜

1

4

，1-4x₁x₂＞0f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f(x)=2x+

1

2x

在区间（0，0.5）上是单调递减的．

点评：本题考查用待定系数法求解析式，证明函数的单调性．