Question

已知函数f(x)=

2x-t

x2+3

(t∈R)．
（1）若关于x的方程x²-tx-3=0的两实数为a，b（a＜b），试判断函数f（x）在区间（a，b）上的单调性，并说明理由；
（2）若函数f（x）的图象在x=-1处的切线斜率为

1

2

，求当x＞0时，f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知，对函数求导，结合已知可判断f′（x）的符号，从而可判断函数在（a，b）上的单调性．
（2）由（1）及已知可得，f′（-1）=

-2(1+t-3)

16

=

1

2

可求t，当x＞0时，代入f（x）=

2(x+1)

3+x2

=

2(x+1)

(x+1)2-2(x+1)+4

=

2

(x+1)+ 4 x+1 -2

，利用基本不等式可求f（x）的最大值

解答：解：（1）∵f′(x)=

2(x2+3)-2x(2x-t)

(x2+3)2

=

-2(x2-tx-3)

(x2+3)2

=-

2(x-a)(x-b)

(x2+3)2

＞0
∴函数f（x）在区间（a，b）上的单调递增      （5分）
（2）由（1）及已知可得，f′（-1）=

-2(1+t-3)

16

=

1

2

∴t=-2    （7分）
当x＞0时，由f（x）=

2(x+1)

3+x2

=

2(x+1)

(x+1)2-2(x+1)+4

=

2

(x+1)+ 4 x+1 -2

≤

2

2 (x+1)• 4 x+1 -2

=1    （11分）
当且仅当x+1=

4

x+1

即x=1时取等号
∴f（x）的最大值为1（12分）

点评：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，导数的几何意义的应用及基本不等式在函数的最值求解中的应用，属于函数知识的综合性应用