Question

10．判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=$\frac{（1+{2}^{x}）^{2}}{{2}^{x}}$；
（2）f（x）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）；
（3）f（x）=lgx²+lg$\frac{1}{{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的定义进行判断即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{（1+{2}^{x}）^{2}}{{2}^{x}}$=$\frac{1+2•{2}^{x}+{2}^{2x}}{{2}^{x}}$=$\frac{1}{{2}^{x}}$+2+2^x，
则f（-x）=$\frac{1}{{2}^{x}}$+2+2^x=f（x），则函数f（x）为偶函数；
（2）∵f（x）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）；
∴f（-x）+f（x）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）+lg（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=lg（x²+1-x²）=lg1=0，
即f（-x）=-f（x），则函数f（x）为奇函数．
（3）函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
则f（-x）=lgx²+lg$\frac{1}{{x}^{2}}$=f（x），则函数f（x）为偶函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．