Question

函数f（x）的定义域为R，f（﹣2）=2013，对任意x∈R，都有f′（x）＜2x成立，则不等式f（x）＞x²+2009的解集为（　　）

A．

（﹣2，2）

B．

（﹣2，+∞）

C．

（﹣∞，﹣2）

D．

（﹣∞，+∞）

Answer 1

考点：

函数的单调性与导数的关系．

专题：

导数的综合应用．

分析：

构造函数g（x）=f（x）﹣x²﹣2009，利用对任意x∈R，都有f′（x）＜2x成立，即可得出函数g（x）在R上单调性，进而即可解出不等式．

解答：

解：令g（x）=f（x）﹣x²﹣2009，则g′（x）=f′（x）﹣2x＜0，

∴函数g（x）在R上单调递增，

而f（﹣2）=2013，

∴g（﹣2）=f（﹣2）﹣（﹣2）²﹣2009=0．

∴不等式f（x）＞x²+2009，可化为g（x）＞g（﹣2），

∴x＜﹣2．

即不等式f（x）＞x²+2009的解集为（﹣∞，﹣2）．

故选C．

点评：

恰当构造函数和熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．