题目内容
设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,且an+2SnSn-1=0(n≥2),(1)求数列{Sn}的通项公式;
(2)设Sn=
,bn=f(
)+1.
记Pn=S1S2+S2S3+…+SnSn+1,Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1,试求Tn,并证明Pn＜
.
(1)解:∵an+2SnSn-1=0(n≥2),∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0.
∴=2.又∵a1=1,∴Sn=(n∈N+).
(2)证明:∵Sn=,∴f(n)=2n-1.∴bn=2(
)-1+1=(
)n-1.
Tn=(
)0·(
)1+(
)1·(
)2+…+(
)n-1·(
)n
=(
)1+(
)3+(
)5+…+(
)2n-1=
［1-(
)n］.
∴Pn=
+
+…+
=
(1
)＜
.
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