题目内容
已知函数f(x)=
，
（1）求f（x）的定义域；
（2）求f（x）在[0，2π]上的单调递减区间．
| 1+sinx+cosx+sin2x | 1+sinx+cosx |
（1）求f（x）的定义域；
（2）求f（x）在[0，2π]上的单调递减区间．
分析：（1）求f（x）的定义域，可令1+sinx+cosx≠0，解出不等式的解集即为函数的定义域；
（2）首先进行三角函数的恒等变形，分子上应用二倍角公式，题公因式，约分整理出三角函数的最简形式，根据正弦曲线的单调性得到结果．
（2）首先进行三角函数的恒等变形，分子上应用二倍角公式，题公因式，约分整理出三角函数的最简形式，根据正弦曲线的单调性得到结果．
解答：解：f(x)=
=
=
=sinx+cos=
sin（x+
）
（1）函数的定义域是1+sinx+cosx≠0
∴sinx+cosx≠-1，
∴sin（x+
）≠-
，
∴x+
≠2kπ+
或2kπ+
∴x≠2kπ+π或2kπ+
∴函数的定义域是{x|x≠2kπ+π或2kπ+
}
（2）∵正弦曲线的单调递减区间是[2kπ+
，2kπ+
]
∴x+
∈[[2kπ+
，2kπ+
]
∴x∈[2kπ+
，2kπ+
]，k∈z
即函数的单调递减区间是[2kπ+
，2kπ+
]，k∈z
| 1+sinx+cosx+sin2x |
| 1+sinx+cosx |
| (sinx+cosx)2+sinx+cosx |
| 1+sinx+cosx |
=
| (sinx+cosx)(1+sinx+cosx) |
| 1+sinx+cosx |
| 2 |
| π |
| 4 |
（1）函数的定义域是1+sinx+cosx≠0
∴sinx+cosx≠-1，
∴sin（x+
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
∴x+
| π |
| 4 |
| 5π |
| 4 |
| 7π |
| 4 |
∴x≠2kπ+π或2kπ+
| 3π |
| 2 |
∴函数的定义域是{x|x≠2kπ+π或2kπ+
| 3π |
| 2 |
（2）∵正弦曲线的单调递减区间是[2kπ+
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
∴x+
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
∴x∈[2kπ+
| π |
| 4 |
| 5π |
| 4 |
即函数的单调递减区间是[2kπ+
| π |
| 4 |
| 5π |
| 4 |
点评：本题考查三角函数的恒等变形和三角函数的单调区间和定义域，本题解题的关键是对函数式进行整理，这是解题的重中之重．
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