题目内容
平面向量的数量积
a·b是一个非常重要的概念，利用它可以容易地证明平面几何的许多命题，例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、长方形对角线相等、正方形的对角线垂直平分等．请你给出具体证明．你能利用向量运算推导关于三角形、四边形、圆等平面图形的一些其他性质吗？
答案：略
解析：
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(1) 勾股定理：Rt△ABC中，∠C＝90°，则 ．
证明：因为  ，
所以  ．
由∠ C＝90°，有CA⊥CB，于是 ．
所以  ．
(2) 菱形ABCD中，求证：AC⊥BD．证明：因为  ，
所以  ．
因为 ABCD是菱形，所以AB＝AD，所以 ．
因此  ，所以AC⊥BD．
(3) 长方形ABCD中，求证：AC＝BD．证明：因为 ABCD是长方形，所以AB⊥AD，所以 ．
所以  ．
所以  ．
所以  ．
所以 AC＝BD．(4) 正方体的对角线垂直平分．综合以上(2)(3)的证明即可． |
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可得
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