Question

盒子里装有6件包装完全相同的产品，已知其中有2件次品，其余4件是合格品．为了找到2件次品，只好将盒子里的这些产品包装随机打开检查，直到两件次品被全部检查或推断出来为止．记ξ表示将两件次品被全部检查或推断出来所需检查次数．
（1）求两件次品被全部检查或推断出来所需检查次数恰为4次的概率；
（2）求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）由题意检查次数为4次包含两类结果：前三次检查中有一个次品，第4次检查出次品和前四次检查全检查出正品，利用互斥事件的概率公式求得；
（2）由题意由于ξ表示将两件次品被全部检查或推断出来所需检查次数，根据题意则ξ可能取2，3，4，5，利用随机变量的定义及其分布列，再代入期望定义即可．

解答：解：（1）检查次数为4次包含两类情形：
①前三次检查中有一个次品，第4次检查出次品，
②前四次检查中全为正品，
所以所求概率为P=

C 1 2 C 2 4 A 3 3

A 4 6

+

A 2 4

A 3 4 C 3 4

=

4

15

（2）由题意，由于ξ表示将两件次品被全部检查或推断出来所需检查次数，ξ可能取2，3，4，5；
P(ξ=2)=

1

15

，P(ξ=3)=

2

15

，P(ξ=4)=

4

15

，P(ξ=5)=

8

15

，
分布列如下表：

利用期望定义可得：Eξ=2×

1

15

+3×

2

15

+4×

4

15

+5×

8

15

=

64

15

．

点评：此题考查了排列数，组合数，古典概型的计算公式，随机变量的定义及分布列，随机变量的期望．