Question

15．A和B是抛物线y²=8x上除去原点以外的两个动点，O是坐标原点且满足$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AB}$=0，则支动点M的轨迹方程为（　　）

• A． x²+y²-8x=0
• B． y=6x²
• C． x²+4y²=1
• D． $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}$=1

Answer 1

分析 设出P，Q，M的坐标，由已知得到三点坐标的关系，然后分l的斜率存在和不存在分析，当斜率存在时，设出直线l的方程，和抛物线联立后结合根与系数的关系求得M的轨迹．

解答 解：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x，y），
则x₁•x₂+y₁•y₂=0 ①，$\frac{y}{x}•\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-1②，
当l垂直于x轴时，M（8，0），
当l斜率存在时，由题意可知斜率k不会为0，
设l_AB：y=kx+b，代入抛物线方程可得k²x²+（2kb-8）x+b²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8-2kb}{{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{{b}^{2}}{{k}^{2}}$，y₁•y₂=$\frac{8b}{k}$，
∵x₁•x₂+y₁•y₂=0，
∴$\frac{{b}^{2}}{{k}^{2}}$+$\frac{8b}{k}$=0
即k=-$\frac{b}{8}$③，
∵$\frac{y}{x}•k=-1$④，
又∵点M满足y=kx+b  ⑤，
由③④⑤得：（x-4）²+y²=16，
而M（4，0）满足上式，
∴点M的轨迹方程为：（x-4）²+y²=16．
即x²+y²-8x=0，
故选：A．

点评 本题考查了轨迹方程的求法，重点体现了舍而不求的解题思想方法，涉及直线与圆锥曲线关系问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，利用根与系数关系求解，是中档题．