Question

设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的两条渐近线与直线x=

a2

c

分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点．若60°＜∠AFB＜90°，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）

• A、（1，

  2

  ）
• B、（

  2

  ，2）
• C、（1，2）
• D、（

  2

  ，+∞）

Answer 1

分析：确定双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的两条渐近线方程，求得A，B的坐标，利用60°＜∠AFB＜90°，可得

3

3

＜kFB＜1，由此可求双曲线的离心率的取值范围．

解答：解：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的两条渐近线方程为y=±

b

a

x，x=

a2

c

时，y=±

ab

c

，
∴A（

a2

c

，

ab

c

），B（

a2

c

，-

ab

c

），
∵60°＜∠AFB＜90°，
∴

3

3

＜kFB＜1，
∴

3

3

＜

ab c

c- a2 c

＜1，
∴

3

3

＜

a

b

＜1，
∴

1

3

＜

a2

c2-a2

＜1，
∴1＜e²-1＜3，
∴

2

＜e＜2．
故选B．

点评：本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确寻找几何量之间的关系是关键．