Question

焦点在x轴上，离心率为的椭圆经过点（，1）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线l₁，l₂分别与椭圆交于A，B和C，D，是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆方程，利用离心率为的椭圆经过点（，1），建立方程，从而可求椭圆方程；．
（2）问题等价于=λ，即是否是定值问题，分类讨论，利用韦达定理求得弦长，化简，即可得到结论．
解答：解：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），则
∵离心率为的椭圆经过点（，1）．
∴，，
∴a²=8，b²=4，故椭圆方程是．
（2）问题等价于=λ，即是否是定值问题．
椭圆的焦点坐标是（±2，0），不妨取焦点（2，0），当直线AB的斜率存在且不等于零时，
设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程是y=k（x-2），
代入椭圆方程并整理得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-，．
根据弦长公式，|AB|==
以-代换k，得|CD|==
所以==
即|AB|+|CD|=|AB|•|CD|．
当直线AB的斜率不存在或等于零时，|AB|，|CD|一个是椭圆的长轴长度，一个是通径长度，
此时==，即|AB|+|CD|=|AB|•|CD|．
综上所述，故存在实数λ=，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．