Question

已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=

3

2

，它与直线x+y+1=0交于P、Q两点，若OP⊥OQ，求椭圆方程．（O为原点）．

Answer 1

分析：先设出椭圆的标准方程，根据离心率的范围求得a和c的关系，进而表示出b和a的关系，代入椭圆方程，根据OP⊥OQ判断出x₁x₂=-y₁y₂，直线与椭圆方程联立消去y，进而根据表示出x₁x₂和y₁y₂，根据x₁x₂=-y₁y₂求得b的值．进而椭圆的方程可得．

解答：解：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，
由

c

a

=

3

2

得

c= 3 2 a b= 1 2 a

∴椭圆方程为

x2

4b2

+

y2

b2

=1，即x²+4y²=4b²设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则由OP⊥OQ?x₁x₂=-y₁y₂

y=-1-x x2+4y2=4b2

?5x2+8x+4-4b2=0由△＞0?b²＞

1

5

X1+X2=-

8

5

，x₁x₂=

4-4b2

5

y₁y₂=（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=

4-4b2

5

+(-

8

5

)+1=

1-4b2

5

∴

4-4b2

5

+

1-4b2

5

=0
b²=

5

8

＞

1

5

∴椭圆方程为

x2

5 2

+

y2

5 8

=1

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．直线与圆锥曲线的关系，以及平面向量的几何由意义．考查了基本知识的识记和基本的运算能力．