Question

【题目】已知函数f（x）＝（x﹣a）cosx﹣sinx，g（x）x3ax2，a∈R

（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）在区间（0，）上零点的个数；

（2）令F（x）＝f（x）+g（x），试讨论函数y＝F（x）极值点的个数．

Answer 1

【答案】（1）零点的个数为0，（2）无极值．

【解析】

（1）结合函数的单调性和极值，即可得到本题答案；

（2）先求导，再分类讨论，即可得到的单调区间和极值，由此即可得到本题答案.

（1）当时，，

∴，

因为当时，，

所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，

当时，函数取得最大值，

所以函数在区间上零点的个数为0；

（2），

，

令，则，

所以在上为增函数，又，

所以当时，，

当时，.

①若时，

当时，恒成立，故在上单调递增，

当时，恒成立，故在上单调递增，

当时，恒成立，故在上单调递减，

故有2个极值；

②若时，

当时，恒成立，故在上单调递增，

当时，恒成立，故在上单调递增，

当时，恒成立，故在上单调递减，

故有2个极值点；

③当时，，

当时，恒成立，故在上单调递增，

当时，恒成立，故在上单调递增，

∴在R上单调递增，无极值点．