Question

2．已知函数$f（x）=sin（x+\frac{π}{6}）cos（x+\frac{π}{6}）$，给出下列结论正确的是（　　）

• A． f（x）的最小正周期是2π
• B． $f（x）的一条对称轴是x=\frac{π}{6}$
• C． $f（x）的一个对称中心是（\frac{π}{6}，0）$
• D． $f（x-\frac{π}{6}）是奇函数$

Answer 1

分析 利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再正弦函数的周期性、奇偶性、以及图象的对称性，得出结论．

解答 解：对于函数$f（x）=sin（x+\frac{π}{6}）cos（x+\frac{π}{6}）$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），
它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，故排除A；
令2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，可得它的对称轴方程为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，故排除B；
令2x+$\frac{π}{3}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，k∈Z，可得它的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，0），k∈Z，故排除C；
根据f（x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=$\frac{1}{2}$sin2x，为奇函数，
故选：D．

点评 本题主要考查二倍角的正弦公式，正弦函数的周期性、奇偶性、以及图象的对称性，属于基础题．