Question

已知动点M到点F．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）若过点E（0，1）的直线与曲线C在y轴左侧交于不同的两点A、B，点P（-2，0）满足，求直线PN在y轴上的截距d的取值范围．．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接设出点M的坐标，列出M的关系式，代入坐标化简即可．即用直接法求轨迹方程．
（2）由（1）可知动点M的轨迹C为双曲线，联立方程，消元，若过点E（0，1）的直线与曲线C在y轴左侧交于不同的两点A、B，即消元后的方程应有两个负实根，故，求出k的范围．由知N为AB的中点，由维达定理表示出N的坐标，写出PN的方程，令x=0，用k表示出直线PN在y轴上的截距d，转化为求函数的值域．
解答：解：（1）设动点M的坐标为（x，y），由题设可知，
∴动点M的轨迹C方程为x²-y²=1
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题设直线AB的方程为：y=kx+1，
由消去y得：（1-k²）x²-2kx-2=0（x≤-1），
由题意可得：
解得∴
则，
∴
令上为减函数．
∴．
点评：本题考查直接法求轨迹方程和直线与双曲线位置关系的判断、圆锥曲线中范围的求解，综合性强，计算量大．