Question

已知动点M到点F（-

2

，0）的距离与到直线x=-

2

2

的距离之比为

2

．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）若过点E（0，1）的直线与曲线C在y轴左侧交于不同的两点A、B，点P（-2，0）满足

PN

=

1

2

(

PA

+

PB

)，求直线PN在y轴上的截距d的取值范围．

Answer 1

分析：（1）直接设出点M的坐标，列出M的关系式，代入坐标化简即可．即用直接法求轨迹方程．
（2）由（1）可知动点M的轨迹C为双曲线，联立方程，消元，若过点E（0，1）的直线与曲线C在y轴左侧交于不同的两点A、B，即消元后的方程应有两个负实根，故

k2-1≠0 △=4k2+8(1-k2)＞0 x1+x2= 2k 1-k2 ＜0 x1x2= -2 1-k2 ＞0

，求出k的范围．由

PN

=

1

2

(

PA

+

PB

)知N为AB的中点，由维达定理表示出N的坐标，写出PN的方程，令x=0，用k表示出直线PN在y轴上的截距d，转化为求函数的值域．

解答：解：（1）设动点M的坐标为（x，y），由题设可知

(x+ 2 )2+y2

|x+ 2 2 |

=

2

，整理得：x²-y²=1，
∴动点M的轨迹C方程为x²-y²=1
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题设直线AB的方程为：y=kx+1，
由

y=kx+1 x2-y2=1

（x≤-1）消去y得：（1-k²）x²-2kx-2=0（x≤-1），
由题意可得：

k2-1≠0 △=4k2+8(1-k2)＞0 x1+x2= 2k 1-k2 ＜0 x1x2= -2 1-k2 ＞0

解得1＜k＜

2

∴

PN

=

1

2

(

PA

+

PB

)，∴N为AB中点，设N（x₀，y₀）
则x0=

x1+x2

2

=

k

1-k2

，y0=kx0+1=

1

1-k2

，
∴N（

k

1-k2

，

1

1-k2

），P（-2，0），Q（0，d）三点共线可知d=

2

-2k2+k+2

令f（k）=-2k²+k+2，则f（k）在（1，

2

）上为减函数．
∴f（

2

）＜f（k）＜f（1）且f（k）≠0，则d＜-（2+

2

）或d＞2．

点评：本题考查直接法求轨迹方程和直线与双曲线位置关系的判断、圆锥曲线中范围的求解，综合性强，计算量大．