Question

（2011•重庆三模）已知动点M到点F(

p

2

，0)(p＞0)的距离比它到y轴的距离多

p

2

．
（I）求动点M的轨迹方程；
（II）设动点M的轨迹为C，过点F的直线l与曲线C交于A、B两点，若y轴正半轴上存在点P使得△PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）由题知，点M到点F的距离与它到直线x=-

p

2

的距离相等，可得

(x- p 2 )2+y2

=|x|+

p

2

，即可求出点M的轨迹方程．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点D（x₀，y₀），直线l：y=k(x-

p

2

)，联立

y=k(x- p 2 ) y2=2px

，得k2x2-p(2+k2)x+

k2p2

4

=0，由此入手，能求出直线l的方程．

解答：解：（I）由题知，设M（x，y），则因为点M到点F的距离与它到直线x=-

p

2

的距离相等，所以

(x- p 2 )2+y2

=|x|+

p

2

，可得M的轨迹方程为y²=2px或x≤0．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点D（x₀，y₀），直线l：y=k(x-

p

2

)，
联立

y=k(x- p 2 ) y2=2px

，得k2x2-p(2+k2)x+

k2p2

4

=0，
则x1+x2=

p(2+k2)

k2

，x1x2=

p2

4

，
∴y1+y2=k(x1+x2-p)=

2p

k

，
y1y2=-

4p2x1x2

=-p²，
∴D(

p(2+k2)

2k2

，

p

k

)，由题知lPD：y-

p

k

=-

1

k

(x-

p(2+k2)

2k2

)，
令x=0得，yp=

p(2+3k2)

2k3

，
又PA⊥PB，
∴

y1-yp

x1-0

•

y2-yp

x2-0

=-1，
化简，得y_p²-（y₁+y₂）y_p+y₁y₂+x₁x₂=0，
即3k⁶+3k⁴-4k²-4=0，
（3k⁴-4）（k²+1）=0，
解得k=±

2

4 3

（舍负），
∴直线l的方程：y=

2

4 3

(x-

p

2

)．

点评：本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．