Question

【题目】给定椭圆＞＞0，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为．

（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；

（2）点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过点作直线，使得与椭圆都只有一个交点．求证：⊥.

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】

(1)由题意分别确定a,b,c的值即可求得椭圆方程和准圆方程；

(2)分类讨论直线的斜率存在和直线斜率不存在两种情况即可证得题中的结论.

（1）因为，所以

所以椭圆的方程为， 准圆的方程为.

（2）①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，

因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，

当方程为时，此时与准圆交于点

此时经过点（或且与椭圆只有一个公共点的直线是：(或，

即为(或，显然直线垂直；

同理可证方程为时，直线垂直.

②当都有斜率时，设点其中，

设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，

则，消去得到，

即，

，

经过化简得到：，

因为，所以有，

设的斜率分别为，因为与椭圆都只有一个公共点，

所以满足上述方程，

所以，即垂直.