Question

求证：1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1).

Answer 1

思路分析：本题就是考查对数学归纳法的理解，两个步骤一个是命题成立的基础，一个是命题之间可递推的依据，二者缺一不可.

证明：（1）当n=1时，左式=1²=1，右式=×1×(1+1)×(2×1+1)=1,

左式=右式.

∴当n=1时，命题成立（奠基步骤）.

(2)假设当n=k(≥1)时，命题成立，即

1²+2²+3²+…+k²=k(k+1)(2k+1).（归纳假设）

则当n=k+1时，

右式=1²+2²+3²+…+k²+(k+1)=k(k+1)(2k+1)+(k+1)²

=(k+1)［k(2k+1)+6(k+1)］

=(k+1)(k+2)(2k+3)=右式.

∴当n=k+1时，命题也成立.

由（1）（2）可知，对于一切自然数n，命题都成立.（结论）

方法归纳

用数学归纳法证题要注意下面几点：

(1)证题的两个步骤缺一不可，要认真完成第一步的验证过程；

(2)成败的关键取决于第二步对n=k+1的证明：①突破对“归纳假设”的运用；②用好命题的条件；

(3)正确选择与命题有关的知识及变换技巧.