题目内容
已知f（x）=ln（x+1）-ax．（a∈R）（1）求y=f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，求f（x）在定义域上的最大值；
（3）求证：
| 12+1+1 |
| 12+1 |
| 22+2+1 |
| 22+2 |
| 33+3+1 |
| 32+3 |
| n2+n+1 |
| n2+n |
分析：解：（1）先确定定义域，再用导数法求单调区间；要注意a的讨论，
（2）当a=1时，f（x）=ln（x+1）-x，由（1）可知f（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，从而求得其最大值．
（3）对
•
•
…
＜e两边取对数，将问题转化为证明ln
+ln
+ln
++ln
＜1，由（x）=ln（x+1）-x≤0得证．
（2）当a=1时，f（x）=ln（x+1）-x，由（1）可知f（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，从而求得其最大值．
（3）对
| 12+1+1 |
| 12+1 |
| 22+2+1 |
| 22+2 |
| 33+3+1 |
| 32+3 |
| n2+n+1 |
| n2+n |
| 12+1+1 |
| 12+1 |
| 22+2+1 |
| 22+2 |
| 32+3+1 |
| 32+3 |
| n2+n+1 |
| n2+n |
解答：解：（Ⅰ）定义域为{x|x＞-1}，f′(x)=
-a（1分）
①当a=0时，∵f′(x)=
＞0，
∴f（x）的单调递增区间为（-1，+∞）（2分）
②当a＜0时，
∵f′(x)=
-a＞0
∴f（x）的单调递增区间为（-1，+∞）（3分）
③当a＞0时，由f′（x）＞0，则x＜
-1，
所以f（x）的单调递增区间为(-1，
)，
由f′（x）＜0，则x＞
-1，
所以f（x）的单调递减区间为(
，+∞)（4分）
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=ln（x+1）-x，
由（Ⅰ）可知f（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
所以
（5分）
由表可知f（x）的最大值为f（0）=0（6分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知f（x）=ln（x+1）-x≤0（*）
两边取对数可知ln
•
•
＜1
即证ln
+ln
+ln
++ln
＜1
又ln
=ln(1+
)由（*）式可知当x≠0时，ln（1+x）＜x（9分）
∴ln(1+
)＜
=
=
-
∴ln(
)+ln(
)+ln(
)++ln
＜
+
+
++
=1-
+
-
+
-
++
-
=1-
＜1（12分）
∴原不等式得证
| 1 |
| x+1 |
①当a=0时，∵f′(x)=
| 1 |
| x+1 |
∴f（x）的单调递增区间为（-1，+∞）（2分）
②当a＜0时，
∵f′(x)=
| 1 |
| x+1 |
∴f（x）的单调递增区间为（-1，+∞）（3分）
③当a＞0时，由f′（x）＞0，则x＜
| 1 |
| a |
所以f（x）的单调递增区间为(-1，
| 1-a |
| a |
由f′（x）＜0，则x＞
| 1 |
| a |
所以f（x）的单调递减区间为(
| 1-a |
| a |
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=ln（x+1）-x，
由（Ⅰ）可知f（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
所以
（5分）由表可知f（x）的最大值为f（0）=0（6分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知f（x）=ln（x+1）-x≤0（*）
两边取对数可知ln
| 12+1+1 |
| 12+1 |
| 22+2+1 |
| 22+2 |
| 32+3+1 |
| 32+3 |
| n2+n+1 |
| n2+n |
即证ln
| 12+1+1 |
| 12+1 |
| 22+2+1 |
| 22+2 |
| 32+3+1 |
| 32+3 |
| n2+n+1 |
| n2+n |
又ln
| k2+k+1 |
| k2+k |
| 1 |
| k2+k |
∴ln(1+
| 1 |
| k2+k |
| 1 |
| k2+k |
| 1 |
| k(k+1) |
| 1 |
| k |
| 1 |
| k+1 |
∴ln(
| 12+1+1 |
| 12+1 |
| 22+2+1 |
| 22+2 |
| 32+3+1 |
| 32+3 |
| n2+n+1 |
| n2+n |
| 1 |
| 12+1 |
| 1 |
| 22+2 |
| 1 |
| 32+3 |
| 1 |
| n2+n |
=1-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n+1 |
∴原不等式得证
点评：本题主要考查导数法求单调区间，求函数最值，同时提醒学生在综合题中已证结论可以用到下一问题去解决问题．
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