Question

14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知$c-acosB=\frac{b}{2}$．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若$b-c=\sqrt{6}$，$a=2\sqrt{3}$，求BC边上的高．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意和正弦定理以及和差角的三角函数公式可得cosA，可得A值；
（Ⅱ）由余弦定理和已知数据可得bc=6，由等面积可得${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}ah$，代入数据解方程可得．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，由$c-acosB=\frac{b}{2}$及正弦定理可得$sinC-sinAcosB=\frac{sinB}{2}$，
∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴$cosAsinB=\frac{sinB}{2}$，
∵在三角形中sinB≠0，$cosA=\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，∴$A=\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可知${a^2}={b^2}+{c^2}-2bccos\frac{π}{3}={b^2}+{c^2}-bc$，
∴12=b²+c²-bc=（b-c）²+bc=6+bc，解得bc=6，
由等面积可得${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}ah$，
代入数据$\frac{1}{2}•6•sin\frac{π}{3}=\frac{1}{2}•2\sqrt{3}•h$，
解得$h=\frac{3}{2}$．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式和等面积的方法，属中档题．