Question

曲线y=1+

4-x2

（|x|≤2）与直线y=k（x-2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是（　　）

• A、(

  5

  12

  ，

  3

  4

  ]
• B、（

  5

  12

  ，+∞）
• C、(

  1

  3

  ，

  3

  4

  )
• D、(0，

  5

  12

  )

Answer 1

分析：如图，求出 BC的斜率，根据圆心到切线的距离等于半径，求得切线BE的斜率k′，由题意可知，k′＜k≤K_BC，从而得到实数k的取值范围．

解答：解：曲线y=1+

4-x2

(| 即  x²+（y-1）²=4，（y≥1），表示以A（0，1）为圆心，以2为半径的圆位于直线 y=1 上方的部分（包含圆与直线y=1 的交点C和 D），是一个半圆，如图：
直线y=k（x-2）+4过定点B（2，4），设半圆的切线BE的切点为E，则 BC的斜率为 K_BC=

4-1

2+2

=

3

4

．
设切线BE的斜率为k′，k′＞0，则切线BE的方程为  y-4=k′（x-2），根据圆心A到线BE距离等于半径得
2=

|0-1+4-2k′|

1+(k′)2

，k′=

5

12

，
由题意可得 k′＜k≤K_BC，∴

5

12

＜k≤

3

4

，
故选 A．

点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，倾斜角和斜率的关系，体现了数形结合的数学思想，判断
 k′＜k≤K_BC，是解题的关键．