Question

曲线y=1+

4-x2

与直线l：y=k（x-2）+4有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（　　）

• A．(

  5

  12

  ，+∞)
• B．(

  1

  3

  ，

  3

  4

  ]
• C．(0，

  5

  12

  )
• D．(

  5

  12

  ，

  3

  4

  ]

Answer 1

分析：要求的实数k的取值范围即为直线l斜率的取值范围，主要求出斜率的取值范围，方法为：曲线y=1+

4-x2

表示以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，在坐标系中画出相应的图形，直线l与半圆有不同的交点，故抓住两个关键点：当直线l与半圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值；当直线l过B点时，由A和B的坐标求出此时直线l的斜率，根据两种情况求出的斜率得出k的取值范围．

解答：解：根据题意画出图形，如图所示：

由题意可得：直线l过A（2，4），B（-2，1），
又曲线y=1+

4-x2

图象为以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，
当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d=r，即

|3-2k|

k2+1

=2，
解得：k=

5

12

；
当直线l过B点时，直线l的斜率为

4-1

2-(-2)

=

3

4

，
则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围为(

5

12

，

3

4

]．
故答案为：(

5

12

，

3

4

]

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键．