题目内容
（2007•崇文区二模）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＞0且对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）-2，且f（1）=2，则f（2）=
2
2
，若令f（x1）=a，f（x2）=b且f（x1+x2）=a+b，则a?b的取值范围是[4+2
，+∞）
| 3 |
[4+2
，+∞）
．| 3 |
分析：对已知等式令x1=x2=1，可得f（1+1）=f（1）+f（1）-2，即f（2）=2f（1）-2=2×2-2=2；若f（x1）=a，f（x2）=b且f（x1+x2）=a+b，利用已知等式化简可得ab-2=a+b，结合基本不等式变形得到ab-2≥2
，解关于
的不等式得到
≥1+
（舍负），从而得到ab的取值范围．
| ab |
| ab |
| ab |
| 3 |
解答：解：∵对任意的x1、x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）-2，
∴令x1=x2=1，可得f（1+1）=f（1）+f（1）-2
结合f（1）=2，得f（2）=2f（1）-2=2×2-2=2；
∵f（x1）=a，f（x2）=b且f（x1+x2）=a+b，
∴结合f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）-2，得ab-2=a+b
∵f（x1）=a，f（x2）=b均为正数
∴ab-2=a+b≥2
，当且仅当a=b时等号成立
即（
）2-2
-2≥0，解之得
≤1-
或
≥1+
结合
为正数，可得
≥1+
，所以ab≥（1+
）2=4+2
即a?b的取值范围是[4+2
，+∞）
故答案为：2，[4+2
，+∞）
∴令x1=x2=1，可得f（1+1）=f（1）+f（1）-2
结合f（1）=2，得f（2）=2f（1）-2=2×2-2=2；
∵f（x1）=a，f（x2）=b且f（x1+x2）=a+b，
∴结合f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）-2，得ab-2=a+b
∵f（x1）=a，f（x2）=b均为正数
∴ab-2=a+b≥2
| ab |
即（
| ab |
| ab |
| ab |
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| ab |
| 3 |
结合
| ab |
| ab |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
即a?b的取值范围是[4+2
| 3 |
故答案为：2，[4+2
| 3 |
点评：本题给出特殊的抽象函数，求特殊的函数值并讨论ab的取值范围．着重考查了抽象函数的处理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．
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