题目内容
【题目】如图，在三棱柱
中，已知四边形
为矩形，
，
，
，
的角平分线
交
于
.
（1）求证:平面
平面；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）过点
作
交
于
，连接
，设
，连接
，由角平分线的性质，正方形的性质，三角形的全等，证得
，
，由线面垂直的判断定理证得
平面
，再由面面垂直的判断得证.
（2）平面几何知识和线面的关系可证得
平面
，建立空间直角坐标系
，求得两个平面的法向量，根据二面角的向量计算公式可求得其值.
（1）如图，过点作交于，连接，设，连接，
，
，
又
为
的角平分线，
为正方形，
，
又
，
，
，
，
，又
为
的中点，
又
平面，
，
平面，
又
平面，
平面
平面，
（2）在
中，
，
，
，在
中，
，
，
又
，
，
，
，
又
，，
平面，
平面，
故建立如图空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，则
，
，
令
，得
,
设平面
的一个法向量为
，则
，
，令
，得
，由图示可知二面角
是锐角，
故二面角的余弦值为.
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