题目内容

设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，
a-c
b-c
=
sin(A+C)
sinA+sinC

（Ⅰ）求A的值；
（Ⅱ）求函数f(x)=2sin(x+
A
2
)cos(x+
A
2
)+2
3
cos2(x+
A
2
)-
3
的单调递增区间．
分析：（Ⅰ）△ABC中，由
a-c
b-c
=
sin(A+C)
sinA+sinC
利用正弦定理求得 a2=b2+c2-bc，再由余弦定理求得cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
1
2
，从而求得 A的值．
（Ⅱ）利用二倍角公式，两角和差正弦公式化简函数f（x）的解析式为 2sin（2x+
2π
3
），由 2kπ-
π
2
≤2x+
2π
3
≤2kπ+
π
2
，k∈z，求得x的范围，即可得到函数f（x）的单调增区间．
解答：解：（Ⅰ）△ABC中，由
a-c
b-c
=
sin(A+C)
sinA+sinC
利用正弦定理可得
a-c
b-c
=
b
a+c
，
化简可得  a2=b2+c2-bc．
再由余弦定理可得 cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
1
2
，∴A=
π
3
．
（Ⅱ）函数f(x)=2sin(x+
A
2
)cos(x+
A
2
)+2
3
cos2(x+
A
2
)-
3
=sin（2x+A）+
3
（cos2x+A）
=2sin（2x+A+
π
3
）=2sin（2x+
2π
3
），
由 2kπ-
π
2
≤2x+
2π
3
≤2kπ+
π
2
，k∈z，求得 kπ-
7π
12
≤x≤kπ-
π
12
，k∈z，
故函数f（x）的单调增区间为[kπ-
7π
12
，kπ-
π
12
]，k∈z．
点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，二倍角公式，两角和差正弦公式，正弦函数的增区间，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=(
3
sinx，cosx)，
n
=(cosx，cosx)，
p
=(2
3
，1)．
（1）若
m
∥
n
，求sinx•cosx的值；
（2）设△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角B的取值集合为M，当x∈M时，求函数f（x）=
m
•
n
的值域．
已知函数f(x)=sin(ωx+
π
6
)+sin(ωx-
π
6
)-2cos2
ωx
2
，其中ω是使f（x）能在x=
π
3
处取得最大值时的最小正整数．（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）设△ABC的三边a，b，c满足b2=ac且边b所对的角θ的取值集合为A，当x∈A时，求f（x）的值域．
设函数f（x）=
a
•
b
，其中向量
a
=（2cosx，1），
b
=（cosx，
3
sin2x），x∈R．
（1）若f（x）=0且x∈（-
π
2
，0），求tan2x；
（2）设△ABC的三边a，b，c依次成等比数列，试求f（B）的取值范围．
若向量
m
=（
3
sinωx，cosωx），
n
=（cosωx，-cosωx），已知函数f（x）=
m
•
n
（ω＞0）的周期为
π
2

（1）求ω的值、函数f（x）的单调递增区间、函数f（x）的零点、函数f（x）的对称轴方程；
（2）设△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，求此时函数f（x）的值域．

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