Question

设函数f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x），x∈R．
（1）若f（x）=0且x∈（-

π

2

，0），求tan2x；
（2）设△ABC的三边a，b，c依次成等比数列，试求f（B）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积运算，结合辅助角公式化简函数，利用f（x）=0，可求x的值，进而可得tan2x的值；
（2）根据△ABC的三边a，b，c依次成等比数列，可得b²=ac，利用余弦定理，结合基本不等式，可确定B的范围，进而可得f（B）的取值范围．

解答：解：（1）∵向量

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x），
∴f（x）=

a

•

b

=2cos²x+

3

sin2x=cos2x+

3

sin2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1
∵f（x）=0，∴sin（2x+

π

6

）=-

1

2

∵x∈（-

π

2

，0），∴2x+

π

6

∈(-

5

6

π，

π

6

），
∴2x+

π

6

=-

π

6

∴x=-

π

6

，
∴tan2x=-

3

；
（2）∵△ABC的三边a，b，c依次成等比数列，
∴b²=ac
由余弦定理可得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

1

2

∴0＜B≤

π

3

，
∴

π

6

＜2B+

π

6

≤

5π

6

∴

1

2

≤sin（2B+

π

6

）≤1
∴2≤f（B）≤3．

点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数，考查等比数列，考查余弦定理与基本不等式的运用，化简函数是关键，属于中档题．