Question

设a＞0为常数，函数f（x）=

x

-ln（x+a）
（1）当a=

3

4

时，求f（x）的极大值和极小值；
（2）若使函数f（x）为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）把a=

3

4

代入函数解析式，求出原函数的导函数，得到极值点，把极值点的横坐标代入原函数求得极值；
（2）求出原函数的导函数，由导函数大于等于0得到不等式x+a-2

x

≥0，分离参数a后求得a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=

3

4

时，f（x）=

x

-ln（x+

3

4

），
函数的定义域为[0，+∞）．
对f（x）求导得，f′(x)=

1

2 x

-

1

x+ 3 4

（x＞0）．
由f′（x）＞0，得

4x+3-8 x

2 x (4x+3)

＞0，
即4x+3-8

x

＞0．
解得：0＜x＜

1

4

或x＞

9

4

．
由f′（x）＜0，得

1

4

＜x＜

9

4

．
∴f（x）在x=

1

4

时有极大值，极大值为f（

1

4

）=

1

2

．
f（x）在x=

9

4

时有极小值，极小值为f（

9

4

）=

3

2

-ln3．
（2）由f（x）=

x

-ln（x+a），
得f′(x)=

1

2 x

-

1

x+a

=

x+a-2 x

2 x (x+a)

，
若使函数f（x）为增函数，
则x+a-2

x

≥0在[0，+∞）上恒成立，
即a≥-x+2

x

在[0，+∞）上恒成立，
∵-x+2

x

=-(

x

-1)2+1≤1，
又a＞0，
∴a≥1．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的极值，训练了分离参数法求参数的取值范围，是中档题．