Question

17．已知函数$f（x）=ax+{log_2}（{2^x}+1）$，其中a∈R．
（1）根据a的不同取值，讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）已知a＞0，函数f（x）的反函数为f^-1（x），若函数y=f（x）+f^-1（x）在区间[1，2]上的最小值为1+log₂3，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）由$f（x）=ax+{log_2}（{2^x}+1）$得f（-x）=-ax+log₂（2^x+1）-x，从而可得当a=$-\frac{1}{2}$时函数为偶函数；
（2）可判断$f（x）=ax+{log_2}（{2^x}+1）$与f^-1（x）都是增函数，从而可得f（1）+f^-1（1）=1+log₂3，从而解出a．

解答 解：（1）∵$f（x）=ax+{log_2}（{2^x}+1）$，
∴f（-x）=-ax+log₂（2^-x+1）
=-ax+log₂（2^x+1）-log₂2^x
=-ax+log₂（2^x+1）-x，
∴f（-x）=f（x），
即-ax-x=ax，
故a=$-\frac{1}{2}$；此时函数为偶函数，
若a≠-$\frac{1}{2}$，函数为非奇非偶函数；
（2）∵a＞0，
∴$f（x）=ax+{log_2}（{2^x}+1）$单调递增，
又∵函数f（x）的反函数为f^-1（x），
∴f^-1（x）单调递增；
∴f（1）+f^-1（1）=1+log₂3，
即a+log₂3+f^-1（1）=1+log₂3，
故f^-1（1）=1-a，
即a（1-a）+log₂（2^a-1+1）=1，
解得，a=1；
故f（2）=2+log₂5．

点评 本题考查了函数与反函数，同时考查了函数的性质的判断与化简运算能力．