Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=

3

，
（1）求证：BC⊥SC；
（2）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）由SD⊥底面ABCD得SD⊥BC，结合BC⊥DC，可得BC⊥平面SDC，最后由直线与平面垂直的定义，得BC⊥SC．
（2）类似（1）的证明方法，可得DM⊥AB．连接BD，可算出Rt△SDB中，SD=

SB2-SD2

=1，可得△SDA的边SD=AD，得到SA边上的中线DM⊥SA，从而得到DM⊥平面SAB，所以DM⊥SB，得异面直线DM与SB所成的角为90°．

解答：解：（1）∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥DC．
∵SD⊥底面ABCD，BC?底面ABCD
∴SD⊥BC．
又∵DC∩SD=D，∴BC⊥平面SDC．
∵SC?平面SDC，∴BC⊥SC．
（2）∵SD⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴SD⊥AB
又∵AB⊥AD，AD∩SD=D，∴AB⊥平面SAD
∵DM?平面SAD，∴DM⊥AB
连接BD，则Rt△SDB中，BD=

2

，SB=

3

∴SD=

SB2-SD2

=1
可得Rt△SDA中，SD=AD，∴SA边上的中线DM⊥SA
∵SA和AB是平面SAB内的相交直线，
∴DM⊥平面SAB，结合SB?平面SAB，得DM⊥SB，
∴异面直线DM与SB所成的角为90°．

点评：本题给出底面为正方形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥，求证线面垂直并且求异面直线所成角，着重考查了直线与平面垂直的判定与性质等知识，属于基础题．