Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为3的正方形，SD丄底面ABCD，SB=3

3

，点E、G分别在AB，SG 上，且AE=

1

3

AB  CG=

1

3

SC．
（1）证明平面BG∥平面SDE；
（2）求面SAD与面SBC所成二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）在SD上取点F，使SF=

2

3

SD，连接FG、FE，根据比例关系可得BG∥FE，而FE⊆平面SDE，BG?平面SDE，满足线面平行的判定度量所需条件；
（2）连接BD，设面SAD与面ABC所成二面角的平面角为θ，根据面积射影法cosθ=

S△SAD

S△SBC

=

1 2 AD•SD

1 2 BC• SC

求出二面角的平面角的余弦值即可．

解答：解：（1）在SD上取点F，使SF=

2

3

SD，连接FG、FE，由CG=

1

3

SC得FG

∥

.

2

3

CD，
又AE=

1

3

AB得BE

∥

.

2

3

CD，∴FG

∥

.

BE，∴BG∥FE
∵FE⊆平面SDE，BG?平面SDE
∴BG∥平面SDE．
（2）连接BD，在正方形ABCD中，BC=3，∴BD=3

2

，∵SD⊥面ABCD，∴SD⊥BD，又SB=3

3

，∴SD=3，
又面SAD⊥面ABCD，面SCD⊥面ABCD，∴BC⊥SC，BA⊥面SAD，CD⊥面SAD，
设面SAD与面ABC所成二面角的平面角为θ，则
cosθ=

S△SAD

S△SBC

=

1 2 AD•SD

1 2 BC• SC

=

3×3

3×3 2

=

2

2

∴θ=

π

4

，即面ASD与面BSC所成二面角的大小为

π

4

．

点评：本题主要考查了线面平行的判断，以及二面角平面角的度量等有关知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．