Question

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，A₁A=AB=2，E为BB₁延长线上的一点，D₁E⊥面D₁AC．
（1）若H是BB₁的中点，证明：DH∥D₁E；
（2）求三棱锥A-CDE的体积；
（3）求二面角E-AC-D₁的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）证明DH⊥面D₁AC，利用D₁E⊥面D₁AC，可得DH∥D₁E；
（2）证明四边形DD₁HE是平行四边形，棱锥A-CDE的体积等于三棱锥B-CDE的体积，等于三棱锥D-BCE的体积，即可求得结论；
（3）建立直角坐标系，确定E的坐标，求出平面EAC的法向量，平面D₁AC的法向量为=（0，2，1），利用向量的夹角公式，可求二面角E-AC-D₁的大小．
解答：（1）证明：连接BD交AC于O，

在矩形BDD₁B₁中，O是BD的中点，H是BB₁的中点
∴，∴∠HDB=∠DD₁O，∴
∵AC⊥平面BDD₁B₁，DH?平面BDD₁B₁，
∴AC⊥DH
∵AC∩D₁O=O
∴DH⊥面D₁AC，
又∵D₁E⊥面D₁AC，∴DH∥D₁E；
（2）解：由（1）知DH∥D₁E，
∵DD₁∥EH，∴四边形DD₁HE是平行四边形
∴EH=DD₁=2，∴BE=3
∵AB∥CD，∴三棱锥A-CDE的体积等于三棱锥B-CDE的体积，等于三棱锥D-BCE的体积
∵∠BAD=60°，AB=2，∴D到平面BC₁的距离为
∴D-BCE的体积等于=
∴三棱锥A-CDE的体积等于；
（3）解：建立如图所示的直角坐标系，则A，B（0，1，0），C（-，0，0），D（0，-1，0），D₁（0，-1，2）
设E（0，1，2+h），则=
∵D₁E⊥面D₁AC，∴D₁E⊥AC，D₁E⊥D₁A
∴2-2h=0，∴h=1，即E（0，1，3）
∴
设平面EAC的法向量为
由，可得，令z=-1，则
∵平面D₁AC的法向量为=（0，2，1）
∴cos＜＞===
∴二面角E-AC-D₁的大小为45°．
点评：本题考查线面垂直，考查线线平行，考查三棱锥体积的计算，考查面面角，考查利用向量法解决空间角问题，确定平面的法向量是关键．