Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）满足f（1）=1，f（-1）=0，且对任意实数x，恒有f（x）≥x成立．
（1）求a，b，c的值；
（2）设函数g（x）=f（x）-mx（m∈R），且g（x）在x∈[-1，1]上严格单调，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=1，f（-1）=0，得方程组，推出b=a+c=

1

2

，由对任意实数x，恒有f（x）≥x成立，得不等式组，利用基本不等式即不等式的性质可求得a，b，c的值；
（2）由（1）可得f（x）表达式，从而可表示出g（x），根据二次函数的性质知，要使g（x）满足题意，须有对称轴不在区间[-1，1]内部，从而可得不等式组，解出即可；

解答：解：（1）由题意得：

a+b+c=1 a-b+c=0

，则b=a+c=

1

2

，
又对任意实数x，都有f（x）≥x，即ax2-

1

2

x+c≥0，
则必须

a＞0 △= 1 4 -4ac≤0

⇒

a＞0 ac≥ 1 16

，
于是c＞0，所以

1

2

=a+c≥2

ac

⇒ac≤

1

16

，
所以只有ac=

1

16

，与a+c=

1

2

联立解得：a=c=

1

4

，
综上可得：a=

1

4

，b=

1

2

，c=

1

4

；
（2）由（1）解得：f（x）=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

，于是g（x）=f（x）-mx=

1

4

[x2+(2-4m)x+1]，
要使g（x）在x∈[-1，1]上严格单调，则必须：
对称轴x=2m-1≤-1或2m-1≥1，解得：m≤0或m≥1，
则所求的实数m的范围是（-∞，0）∪（1，+∞）．

点评：本题考查二次函数的性质、不等式的性质及恒成立，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力．