Question

（2012•宁德模拟）已知角α的顶点与直角坐标系原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P，且α∈[0，π）．
（1）若点P的坐标是(-3m，4m)，求cos(α-

π

3

)的值；
（2）设点M的坐标是(

1

2

，

3

2

)，求使得函数f(a)=

OM

•

MP

-k的恰有两个零点的实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知及三角函数定义求出tanα的值小于0，再由α的范围，确定出sinα和cosα的值，把所求式子利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，把sinα和cosα的值代入即可求出值；
（2）由M与P的坐标，表示出两向量，利用平面向量的数量积运算法则计算确定出f（α）的解析式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，令解析式等于0，表示出1+k，根据α的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象求出正弦函数的值域，得出1+k的范围，即可求出k的取值范围．

解答：解：（1）由已知条件及三角函数定义，得到tanα=-

3

4

，又α∈[0，π），
∴sinα=

4

5

，cosα=-

3

5

，
则cos（α-

π

3

）=cosαcos

π

3

+sinαsin

π

3

=-

3

5

×

1

2

+

4

5

×

3

2

=

-3+4 3

10

；
（2）由点M的坐标是(

1

2

，

3

2

)，P（cosα，sinα），
由已知令f（α）=

OM

•

MP

-k=（

1

2

，

3

2

）（cosα-

1

2

，sinα-

3

2

）-k
=（

1

2

cosα+

3

2

sinα）-1-k=sin（α+

π

6

）-1-k=0，
即1+k=sin（α+

π

6

），
又α∈[0，π），∴α+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

），
由正弦定理图象得：1+k∈[

1

2

，1），
则函数f(a)=

OM

•

MP

-k的恰有两个零点的实数k取值范围是-

1

2

≤k＜0．

点评：此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，平面向量的数量积运算，正弦函数的定义域与值域，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握公式是解本题的关键．