Question

18．设F是抛物线C：y²=4x的焦点，P是C上一点，斜率为-l的直线l交C于不同两点A，B（l不过P点），且△PAB重心的纵坐标为-$\frac{2}{3}$．
（I）记直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂．求k₁+k₂的值；
（Ⅱ）求$\frac{1}{|FA|}$+$\frac{1}{|FB|}$的最大值．

Answer 1

分析 （I）设直线l的方程为：y=-x+b，将它代入C：y²=4x得：x²-2（b+2）x+b²=0，利用韦达定理，结合斜率公式，化简可k₁+k₂的值；
（Ⅱ）表示出$\frac{1}{|FA|}$+$\frac{1}{|FB|}$，换元，利用基本不等式求最大值．

解答 解：（I）设直线l的方程为：y=-x+b，将它代入C：y²=4x得：x²-2（b+2）x+b²=0，
令A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则
x₁+x₂=2（b+2），x₁x₂=b²，y₁+y₂=-（x₁+x₂）+2b=-4，…（3分）
因为△PAB重心的纵坐标为-$\frac{2}{3}$，所以y₁+y₂+y_P=-2，所以，y_P=2，x_P=1．
所以k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-1}$=$\frac{（{y}_{1}-2）（{x}_{2}-1）+（{y}_{2}-2）（{x}_{1}-1）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$=$\frac{-2{b}^{2}+2（b-1）（b+2）-2（b-2）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$=0
所以：k₁+k₂=0．            …（6分）
（Ⅱ）$\frac{1}{|FA|}$+$\frac{1}{|FB|}$=$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{{x}_{1}{x}_{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$=$\frac{2（b+3）}{{b}^{2}+2b+5}$，…（8分）
由△=16（b+1）＞0得b＞-1，又l不过P点，则b≠3．
令t=b+3，则t＞2且t≠6．
则$\frac{1}{|FA|}$+$\frac{1}{|FB|}$=$\frac{2t}{（t-3）^{2}+2（t-3）+5}$=$\frac{2t}{{t}^{2}-4t+8}$=$\frac{2}{t+\frac{8}{t}-4}$≤$\frac{2}{2\sqrt{8}-4}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$
当t=$\frac{8}{t}$，即t=2$\sqrt{2}$，b=2$\sqrt{2}$-3时，$\frac{1}{|FA|}$+$\frac{1}{|FB|}$的最大值为$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．…（12分）

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查斜率的计算，考查韦达定理，正确运用韦达定理是关键．