Question

已知双曲线的离心率为，右焦点为F，过点M（1，0）且斜率为1的直线与双曲线C交于A，B两点，并且．
（1）求双曲线方程；
（2）过右焦点F作直线l交双曲线C右支于P，Q两点，问在原点与右顶点之间是否存在点N，使的无论直线l的倾斜角多大，都有∠PNF=∠QNF．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意可分别求得a和b，a和c的关系代入双曲线的方程，设出A，B的坐标利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而利用直线方程求得y₁y₂的表达式，进而利用得关于a的方程求得a，则b可求．则椭圆的方程可得．
解答：解：（1）由题意知b²=2a²，c²=3a²，代入双曲线得x²+2x-1-2a²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有x₁+x₂-2，x₁x₂=-2a²1，y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=-2a²+2．
又，则，，
得，
∴，
∴，方程为．
（2）直线l：y=k（x-3），．设P（x，y），Q（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
联立方程得（2-k²）x²+6k²x-9k²-6=0，
得，，，．
∵∠PNF=∠QNF，
∴k_PN+k_QN=+=，
∴，所以存在点N．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生分析问题和推理能力，基本的运算能力．